KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

PERSAMAAN GERAK

Posisi titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suatu bidang datar maupun dalam bidang ruang.

Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut VEKTOR POSISI yang ditulis dalam Vektor satuan.

VEKTOR SATUAN.

POSISI TITIK MATERI PADA SUATU BIDANG DATAR.

Posisi titik materi ini dapat dinyatakan dengan :

 Contoh : 

POSISI TITIK MATERI PADA SUATU RUANG.

Posisi titik materi ini dapat dinyatakan dengan :

Contoh : 

 

 

KECEPATAN SUATU TITIK MATERI.

Gerakan titik materi secara keseluruhan dapat diamati jika posisinya setiap saat diketahui. Seberapa cepat letak titik materi itu berubah setiap saat disebut : KECEPATAN .

 

Jadi kecepatan sesaat merupakan turunan pertama dari posisi terhadap waktu (t)

Besarnya kecepatan disebut dengan laju

Laju dapat pula berarti panjang lintasan dibagi waktu yang bersangkutan.

Nilai dari komponen kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan grafik yang dibentuk oleh komponen posisi ( r ) terhadap waktu ( t ).

Sebaliknya untuk menentukan posisi titik materi jika diketahui fungsi kecepatannya maka dapat diselesaikan dengan INTEGRAL ( kebalikan dari deferensial ).

Contoh : 

v_(t)  = 2 t  +  5 m/det

maka persamaan posisi titik materi tersebut adalah ......

PERCEPATAN

Kecepatan titik materi dapat berubah-ubah setiap saat baik besar, atau arah, ataupun kedua-duanya yang disebabkan oleh karena adanya percepatan yang dialami oleh titik materi tersebut.

Jika pada saat t₁ kecepatan v₁ dan pada saat t₂ kecepatannya v₂, percepatan rata-ratanya dalam selang waktu  D t = t ₂ -t ₁   didefinisikan sebagai : (gambar)

Percepatan sesaatnya : (gambar)

Percepatan merupakan tutunan pertama dari kecepatan terhadap waktu (t) atau turunan kedua dari posisi terhadap waktu (t).

Kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan komponen grafik kecepatan (v) terhadap waktu (t).

(gambar)

  Percepatan dalam arah masing-masing sumbu dalam bidang/ruang dapat dituliskan sebagai :(gambar)

 

Sebaliknya untuk menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan terhadap waktu dengan cara mengintegralkan : (gambar)

Semoga membantu :)

source : from here (just click!)

GERAK HARMONIK

 Benda yang melakukan gerak lurus berubah beraturan, mempunyai percepatan yang tetap, Ini berarti pada benda senantiasa bekerja gaya yang tetap baik arahnya maupun besarnya. Bila gayanya selalu berubah-ubah, percepatannyapun berubah-ubah pula.

Gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama disebut Gerak Periodik. Gerak periodik ini selalu dapat dinyatakan dalam fungsi sinus atau cosinus, oleh sebab itu gerak periodik disebut Gerak Harmonik. Jika gerak yang periodik ini bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama disebut Getaran atau Osilasi.

Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh satu lintasan bolak-balik disebut Periode, sedangkan banyaknya getaran tiap satuan waktu disebut Frekwensi. Hubungan antara periode (T) dan frekwensi (f) menurut pernyataan ini adalah T=1/f

Satuan frekwensi dalam SI adalah putaran per detik atau Hertz (Hz). Posisi pada saat resultan gaya bekerja pada partikel yang bergetar sama dengan nol disebut posisi seimbang.

Perhatikan sebuah benda massanya m digantungkan pada ujung pegas, pegas bertambah panjang. Dalam keadaan seimbang, gaya berat w sama dengan gaya pegas F, resultan gaya sama dengan nol, beban diam.

Dari kesimbangannya beban diberi simpangan y, pada beban bekerja gaya F, gaya ini cenderung menggerakkan beban  keatas. Gaya pegas merupakan gaya penggerak, padahal gaya pegas sebanding dengan simpangan pegas.

        F = - k y             ;  k  tetapan pegas 

Mudah dipahami bahwa makin kecil simpangan makin kecil pula gaya penggerak. Gerakan yang gaya penggeraknya sebanding dengan simpangan disebut Gerak Harmonis ( Selaras ).

               Bila beban dilepas dari kedudukan terbawah (A), beban akan bergerak bolak balik sepanjang garis A-O-B. Gerak bolak-balik disebut getaran dan getaran yang gaya penggeraknya sebanding dengan simpangannya disebut : Gerak Harmonis.

Simpangan yang terbesar disebut Amplitudo getaran (A).

Saat simpangan benda y, percepatannya : 

                  

Besar energi potensialnya : Ep = ½ ky²

Ketika simpangannya terbesar energi kinetiknya Ek = 0, sedangkan energi potensialnya Ep = ½ kA² ….. Jadi energi getarannya  E = Ep + Ek = ½ kA² + 0

E = ½ kA²

Energi kinetik saat simpangannya y dapat dicari dengan hukum kekekalan energi.

                               E = Ep + Ek

                               Ek = E – Ep = ½ kA² – ½ ky²

FREKUENSI (f)

                  Gerakan dari A-)-B-O-A disebut satu getaran, waktu yang diperlukan untuk melakukan satu getaran disebut PERIODE (T) dan banyaknya getaran yang dilakukan dalam satu detik disebut bilangan getar atau FREKWENSI

Dalam T detik dilakukan 1 getaran

Dalam 1 detik dilakukan  1/T getaran

                                   Jadi  f = 1/T

Satuan T dalam detik, f dalam Hertz atau cps (cycles per sekon) atau rps (rotasi per sekon)

PROYEKSI GERAK MELINGKAR BERATURAN.

               Gerak bolak-balik piston menjadi gerak putaran pada sebuah kendaraan bermotor, gerak putar pada sebuah mesin jahit menjadi gerak bolak-balik jarum mesin jahit, menunjukkan adanya kaitan antara gerak melingkar dengan gerak harmonik.

               Gerak melingkar beraturan titik P dalam tiap-tiap saat diproyeksikan pada garis tengah MN, titik proyeksinya yakni titik Q bergerak dari O-M-O-N-O, dengan kata lain titik Q bergerak menyusuri MN bolak-balik. Apakah gerak titik Q gerak harmonik ? akan kita bahas.

Amplitudo gerak titik Q adalah R dan periodenya sama dengan periode gerak melingkar beraturan. Bila dalm t detik titik P menempuh sudut

  Dalam waktu yang sama titik Q mempunyai simpangan : 

  Kecepatannya saat itu :

Percepatan saat itu  :

Oleh karena arah percepatan ke bawah, tandanya negatif :

 

Bila massa titik Q adalah m, besar gaya yang bekerja pada titik itu :

Persamaan terakhir menyatakan bahwa gaya yang bekerja pada titik Q sebanding dengan simpangannya. Jadi proyeksi gerak melingkar beraturan adalah GERAK HARMONIS.

Persamaan di atas gerak mulai dari titik setimbang, jika tidak maka persamaan secara umum ditulis sbb : 

PERIODE GERAK HARMONIS.

 

m massa benda dalam kg, k tetapan pegas dalam N/m dan T periode getaran dalam detik.

PHASE

Gerak harmonis sederhana akan lebih mudah diketahui bila dikenal keadaannya (phasenya). Phase suatu titik yang bergetar didefinisikan sebagai waktu sejak meninggalkan titik seimbang dibagi dengan periodenya.

 

source : from here (just click)